Zoé Kauffman Un mathématicien israélien redéfinit les relations proies prédateurs
Elon Lindenstrauss est un brillant mathématicien. Il est le premier et seul israélien à avoir obtenu la très prestigieuse médaille Fields (en 2010). Cette récompense est très souvent considérée comme étant le prix Nobel de mathématiques, bien qu’étant de nature différente. Elle est décernée aux excellents mathématiciens de moins de 40 ans ayant déjà publié des résultats exceptionnels et présentant donc un fort potentiel de recherche.
Revenons à Elon Lindenstrauss et ses travaux. Elon a acquis ses lettres de noblesse dans le monde mathématique grâce à ses travaux en systèmes dynamiques, et plus particulièrement en théorie « ergodique ». Un système dynamique est un système qui évolue au cours du temps, contrairement à un système statique. L’exemple le plus courant d’un tel système est celui étudié par les apprentis mathématiciens de niveau licence : le modèle proie-prédateur. Prenons une population de proies (lapins, sardines, etc) en présence d’une population de prédateurs (renards, requins, etc). Il n’est pas difficile de comprendre que plus il y aura de prédateurs, et moins il y aura de proies. Mais après un certain temps, le manque de nourriture entrainera également une baisse de prédateurs, et donc par la suite une augmentation du nombre de proies… et ainsi de suite. Il s’établit alors un cycle de hausses et de baisses des deux populations autour d’une position d’équilibre. Ce système fut étudié par Vito Volterra dans les années 1920, qui avait été contacté par le bureau de la pêche italienne pour comprendre l’influence de la pêche sur les populations de poissons.
L’étude de ce modèle est relativement simple et la prédiction de l’évolution des deux populations est tout à fait prévisible. On dit alors que ce système est « non ergodique » par opposition aux systèmes dynamiques présentant des comportements complexes au cours du temps et qui sont qualifiés d’ « ergodiques ». La différence entre un système ergodique et un système non ergodique se visualise très bien sur l’exemple de la boule de billard.
Intéressons nous au déplacement d’une boule qui rebondit sur un billard de forme circulaire. La trajectoire de cette boule est facile à prévoir, et on peut s’apercevoir qu’elle ne passera jamais au centre du billard. Supposons maintenant que le billard soit de forme allongée à la manière d’une piste d’athlétisme. La trajectoire de la boule devient alors très difficile à prévoir, celle-ci se déplaçant de façon uniforme sur la surface totale du billard. Ce système sera qualifié d’ergodique alors que le système constitué de la boule et du billard circulaire sera qualifié de non ergodique. Dans le cas du système ergodique, si on divise la surface du billard en petites parties de surfaces égales, alors les parties seront chacune traversées par la boule un même nombre de fois.
S’il y a plusieurs façons de calculer la surface suivant laquelle les parties d’aires égales voient passer aussi souvent la boule, on dira alors que le système admet plusieurs « mesures ergodiques ». Dans beaucoup de systèmes, il peut y avoir plusieurs mesures ergodiques et dans certains cas, même une infinité. La réalisation principale d’Elon Lindenstrauss est d’avoir montré que dans certains systèmes ergodiques bien précis, il ne peut y avoir qu’un très petit nombre de mesures ergodiques.
Ce résultat qui peut paraître anodin est en fait un outil mathématique très puissant qui a trouvé des applications dans de nombreux domaines des mathématiques. Notamment en théorie des nombres où il a permis de progresser de façon significative dans l’étude de la conjecture de Littlewood, problème ouvert depuis 1930, grâce à une reformulation du problème sous la forme d’un système dynamique.
Le jury d’attribution de la médaille Fields ne s’est pas trompé en décernant le prix en 2010 à un brillant mathématicien israélien dont les résultats seront sources d’inspiration pour des générations de mathématiciens.
Elon Lindenstrauss en quelques mots : Elon obtient sa licence en mathématiques et physique en 1991 à l’Université hébraïque de Jérusalem. Il continue ses études en master de mathématiques qu’il obtient brillamment en 1995. Son doctorat en poche (1999), il sera successivement en poste à Princeton (1999-2001), Stanford (2001-2003), au Clay Mathematics Institute (2003-2005) et au Courant Institute of Mathematical Sciences (2003-2005). De 2004 à 2010, il occupe un poste de professeur de mathématiques à Princeton. Depuis 2008, il est également professeur à l’Université hébraïque de Jérusalem.
Elon Lindenstrauss a reçu de nombreuses récompenses nationales et internationales depuis 1988, année où il permit à Israel d’obtenir la médaille de bronze aux Olympiades Internationales de Mathematiques. En 2003, il reçoit le prestigieux prix Salem annonciateur d’une future médaille Fields. En 2004, il est lauréat du prix de la Société Européenne de Mathématiques. En 2008, la fondation Rotschild “Yad Hanadiv” lui décerne le prix Michael Bruno. En 2009, il reçoit le prix Anna et Lajos Erdős de la Société de Mathématiques d’Israel, ainsi que le prix Fermat décerné par l’Institut de Mathématiques de Toulouse. La consécration par l’ensemble de la communauté mathématique internationale survient en 2010 lors du Congrès International des Mathématiciens où il se voit décerné la très prestigieuse médaille Fields.
